数字逻辑 Chapter 2——逻辑代数基础

2.1 逻辑代数基本概念

2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算

一、逻辑变量
任何逻辑变量仅有两种可能取值：0或1
二、基本逻辑运算：与或非

2.1.2 逻辑函数表示形式

1. 逻辑函数表达式
2. 真值表
3. 卡诺图

2.2 逻辑代数公理、基本定理与规则

2.2.1 公理：

1. 交换律
2. 结合律
3. 分配律
4. 0-1律
5. 互补律

2.2.2 基本定理：

1. 0与1的与或关系
2. $A+A=A,A\cdot A=A$
3. 吸收律：$A\cdot(A+B)=A,A+A\cdot B=A$
4. $A+\bar A\cdot B=A+B,A\cdot(\bar A+B)=AB$
5. $\overline {\overline A}=A$
6. 德摩根律
7. $A\cdot B+A\cdot \bar B=A,(A+B)\cdot(A+\bar B)=A$
8. $A\cdot B+\bar A\cdot C+B\cdot C=A\cdot B+\bar A\cdot C,(A+B)\cdot(\bar A+C)\cdot(B+C)=(A+B)\cdot(\bar A+C)$

2.2.3 重要规则

1. 代入规则
2. 反演规则
3. 对偶规则

2.2.4 复合逻辑

1. 与非逻辑：先与后非
2. 或非逻辑：先或后非
3. 与或非逻辑：先与再或后非
4. 异或、同或

2.3 逻辑函数表达式两种基本形式

2.3.1 两种基本形式

与-或表达式（先与后或）、或-与表达式（先或后与）

2.3.2 标准形式

1. 标准与-或表达式：由一系列最小项或构成的逻辑表达式，也称为最小项表达式。
   最小项：如果一个具有n个变量的函数的与项包含全部n个变量，每一个变量都以原变量或反变量的形式出现且仅出现1次，则该与项称为最小项。
   使用m_i表示最小项，下标取值规则：按照变量顺序将原变量以1表示，反变量以0表示得到的二进制数。
   最小项性质：
   (1) 任意一个最小项相应变量有且仅有一种取值使其值为1
   (2) 相同变量构成的最小项相与均为0
   (3) 所有最小项相或为1
   (4) n个变量构成的最小项有n个相邻最小项（仅有一个变量的原反形式不同）。
2. 标准或-与表达式：由一系列最大项与构成的逻辑表达式，也称为最大项表达式。
   最大项：如果一个具有n个变量的函数的或项包含全部n个变量，每一个变量都以原变量或反变量的形式出现且仅出现1次，则该或项称为最大项。
   使用M_i表示最大项，下标取值规则与最小项相反：按照变量顺序将原变量以0表示，反变量以1表示得到的二进制数。
   最大项性质：
   (1) 任意一个最大项相应变量有且仅有一种取值使其值为0
   (2) 相同变量构成的最大项相或均为1
   (3) 所有最大项相与为0
   (4) n个变量构成的最大项有n个相邻最大项（仅有一个变量的原反形式不同）。

最小项与最大项的关系：$\overline {m_i}=M_i$

2.3.3 任意逻辑函数表达式转换为标准表达式

代数转换法、真值表转换法

1. 代数转换法：先转换后扩展
2. 真值表转换法：列表直接写

2.4 逻辑函数化简

2.4.1 代数化简

没有固定步骤可以遵循。
最简与或表达式条件：

1. 表达式中与项最少
2. 每一个与项的变量个数最少
   与或表达式化简常用方法：并项、吸收、消去、配项
   或与表达式化简常用方法：两次对偶法（或与对偶成与或，化简与或后对偶成最简或与）

2.4.2 卡诺图化简

可从图形上直观找出相邻最小项合并（使用卡诺圈）
求逻辑函数最简与或表达式的一般步骤：

• 画出函数卡诺图
• 圈出函数的全部质蕴含项
• 找出所有必要质蕴含项
• 求最简质蕴含项集

（质蕴含项：不是其他与项子集的与项）
卡诺图化简原则：

1. 覆盖函数中所有最小项的前提下，卡诺圈的个数应达到最少
2. 满足合并规律的前提下卡诺圈达到最大
3. 根据合并需要，每个最小项可以被多个卡诺圈包围。

求最简或与表达式一般步骤：

• 做出卡诺图，求出反函数的最简与或表达式（0格）
• 对反函数的最简与或表达式取反即得到原函数的最简或与表达式